Dossier Algorithmique
Avec Python > Statistiques / ProbabilitéJeu du lièvre et de la tortue
Il s'agit pour le lièvre et la tortue de parcourir un trajet de 6 cases. Pour cela on lance au maximum 6 fois un dé.
Le lièvre et la tortue avancent de la manière suivante :
- si le 6 sort au cours d'un des 6 lancers, alors le lièvre avance de 6 cases ;
- sinon la tortue avance d'une case à chaque lancer.
La question est de savoir si le jeu est équitable.
On peut donc réaliser un petit programme qui simule ce jeu.
On utilisera la fonction randrange() de la bibliothèque random de Python.
La première ligne du programme importera donc la fonction de cette bibliothèque : from random import randrange
On peut également utiliser une liste, nommée ici tirage, pour mémoriser les différents lancers de dé. Ce n'est pas indispensable mais cette liste permet d'afficher pour chaque partie les lancers successifs (au moins quand le nombre de parties demandées est inférieur à un certain nombre, fixé ici à 20)
Télécharger ce programme pour Python.
En l'exécutant, on obtient par exemple :
Remarque :
Dans le programme précédent, on peut avantageusement remplacer int(l:n*100) par format(l/n*100,",") pour avoir un ou deux chiffres après la virgule.
Il s'agit pour le lièvre et la tortue de parcourir un trajet de 6 cases. Pour cela on lance au maximum 6 fois un dé.
Le lièvre et la tortue avancent de la manière suivante :
- si le 6 sort au cours d'un des 6 lancers, alors le lièvre avance de 6 cases ;
- sinon la tortue avance d'une case à chaque lancer.
La question est de savoir si le jeu est équitable.
On peut donc réaliser un petit programme qui simule ce jeu.
On utilisera la fonction randrange() de la bibliothèque random de Python.
La première ligne du programme importera donc la fonction de cette bibliothèque : from random import randrange
On peut également utiliser une liste, nommée ici tirage, pour mémoriser les différents lancers de dé. Ce n'est pas indispensable mais cette liste permet d'afficher pour chaque partie les lancers successifs (au moins quand le nombre de parties demandées est inférieur à un certain nombre, fixé ici à 20)
Télécharger ce programme pour Python.
En l'exécutant, on obtient par exemple :
Remarque :
Dans le programme précédent, on peut avantageusement remplacer int(l:n*100) par format(l/n*100,",") pour avoir un ou deux chiffres après la virgule.
Pistes d'exploitation de ce jeu
On s'aperçoit que lorsque le nombre de parties est grand (1000, 2000, ....10000,...) le nombre de parties gagnées par le lièvre est proche de 66% et celui de la tortue 33%. Pourquoi ?
Soient :
Le plus simple est d'essayer d'évaluer la probabilité P(A) de l'évènement A
Pour évaluer la probabilité P(B) de l'évènement B, on peut procéder par différence : P(B)=1 - P(A)
Mais on peut aussi calculer directement P(B) sans connaître P(A).
On peut demander aux élèves de montrer que :
On s'aperçoit que lorsque le nombre de parties est grand (1000, 2000, ....10000,...) le nombre de parties gagnées par le lièvre est proche de 66% et celui de la tortue 33%. Pourquoi ?
Soient :
- A, l'évènement "La tortue gagne"
- B, l'évènement "Le lièvre gagne"
Pour évaluer la probabilité P(B) de l'évènement B, on peut procéder par différence : P(B)=1 - P(A)
Mais on peut aussi calculer directement P(B) sans connaître P(A).
On peut demander aux élèves de montrer que :
