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PAVAGES
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Vos élèves de 4ème ou de 3ème ont fait avec leur professeur d’espagnol un voyage en Andalousie. Ils ont vu de magnifiques monuments : la mosquée de Cordoue, l’Alhambra à Grenade…
Comment ne pas évoquer les splendides fresques, les superbes pavages de l’Alhambra ?
Mais par quelles activités ?
Mon intention était de faire simple. J’ai tout d’abord pensé à faire un devoir sur le thème des pavages.
En préparant ce devoir, je me suis rendu compte qu’il serait assez intéressant de mettre les élèves en position de recherche (modeste recherche certes, mais certainement assez stimulante pour les rendre actifs et réceptifs à un travail plus approfondi).
Le devoir portait sur quelques pavages obtenus à partir d’un motif de base. J’avais préparé un document Word en utilisant les outils de dessin de ce logiciel pour l’illustration des différents pavages (ce qui était nécessaire pour le devoir). La facilité de réalisation m’a incité à préparer une activité préliminaire qui de plus permet de vérifier et consolider des apprentissages fondamentaux en informatique (B2i).
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Première activité
Elle a lieu dans la salle informatique avec un élève par poste (Feuille de TD donnée aux élèves : TPWord.doc).
Les élèves ont à ouvrir un document Word qui ne contient que les 3 dessins suivants :
Note : le deuxième dessin n'est pas utilisé dans la suite mais sert à comprendre la nature du triangle. Les élèves pourraient faire eux-mêmes ces dessins (voir remarques 1) mais l'expérience montre que la réalisation du triangle n'est pas évidente alors que la réussite de la suite en dépend (sans compter un gain de temps non négligeable).
Première étape : le motif de base du pavage.
Les instructions sont alors de copier une fois le carré et le triangle puis de les colorier (avec des couleurs différentes de leur choix), l'outil copier/coller de Word est alors utilisé.
Il faut ensuite copier 3 fois le triangle puis assembler le carré avec les 4 triangles (la base de chaque triangle étant confondu avec un côté du carré). Pour cette opération il est nécessaire d'utiliser l'outil Rotation ou retournement du menu Dessin de la barre d'outils dessin de Word.
Le positionnement fin des triangles se fait en sélectionnant l'un des triangles et en le déplaçant avec les touches fléchées du clavier (le positionnement sur la grille est désactivé, c'est à dire "Aligner sur la grille" décoché, cette boîte de dialogue est obtenue par le menu Dessin, Grille,).
Les élèves obtiennent alors la figure suivante :
Ils doivent alors grouper ces 5 formes (4 triangles et 1 carré) pour obtenir une seule forme : le motif de base des pavages. Ce groupement se fait par l'outil Grouper du menu dessin.
Deuxième étape : la recherche d'un pavage.
Les élèves sont alors prêts pour la recherche : il s'agit de copier/coller ce motif de base et de les assembler pour obtenir un pavage à deux motifs, celui créé et un polygone (losange, carré, hexagone, octogone…). L'opération est très simple (et motivante) à réaliser, il suffit de déplacer le motif de base à la souris (et d'ajuster au clavier).
Très vite les élèves réalisent un premier pavage :
Troisième étape : la recherche d'autres pavages
En regardant les écrans de leur voisin, ils s'aperçoivent que leur pavage n'est pas le seul, il y en a d'autres, l'exploration est lancée…
Deuxième Activité
Il s'agit d'un devoir à la maison (encadré : fichier Devoir.doc). Ce devoir est donné juste après la séance dans la salle informatique. Il permet d'examiner de plus près les quatre pavages principaux. Les élèves ont 15 jours pour rendre leur copie.
Troisième activité
De retour dans la salle informatique avec un logiciel de constructions géométriques.
Cette activité suppose la connaissance de la translation (niveau 4ème) mais peut aussi (avec quelques explications supplémentaires) servir d'introduction à cette notion.
Les élèves ouvrent un fichier (voir remarque 2) et ont à l'écran la figure 1 :
 Fig 1 |
Ils doivent construire l'image du motif de base dans la translation qui transforme O en S puis dans la translation qui transforme O en T. Ils obtiennent alors la figure 2.
 fig 2 |
Enfin ils doivent déplacer les points S et T pour obtenir le début d'un pavage (fig 3) :
 fig 3 |
Puis le compléter (sans oublier d'utiliser les translations inverses pour couvrir tout l'écran) ou ouvrir une figure déjà complétée, il suffit alors de changer de translations (déplacer les points S et T) pour obtenir un des autres pavages (un exemple fig 4) :
 fig 4 |
Après cette activité, les élèves ont compris qu'on pouvait paver le plan avec deux formes de pavés et des translations. Ils ont même composé des translations sans le savoir. En 3ème on en profitera pour introduire la composition de 2 translations. On peut ensuite montrer sur des pavages plus simples (par exemple avec une seule forme de pavé) que pour « conserver » certains pavages (comme ceux de l'Alhambra) il faut d'autres transformations (en plus des translations), comme les symétries, les rotations …
Pour prolonger ces activités :
- Cédérom Encyclomaths
- Livre "Le monde des pavages", A. Deledicq, ACL-éditions, 1997
- Article "Isométries et pavages" (Revue Repères, Num. 48. p. 69-84, 2002). IREM de Montpellier Groupe - ------ Géométrie. Grt
- Recherche sur le Web (mais beaucoup de documents ne sont pas du niveau collège). En particulier on pourra consulter le site officiel de M. C. Escher ( http://www.mcescher.com/)
Remarques :
1) La réalisation d'un carré avec les outils de dessins de Word ne posent pas de problème (il suffit de prendre la forme "Rectangle" et d'appuyer simultanément sur les touches CTRL et MAJ), mais il faut un carré de petite taille pour faire le pavage (les élèves ont tendance à faire un carré de dimension conséquente…) et la création du triangle est moins facile car il faut utiliser les poignées du dessin du carré et l'outil forme libre (Menu Formes automatiques, Lignes) pour cliquer très précisément sur les trois sommets du futur triangle (malgré tout, en cas d'erreur, on peut modifier la position des points par le Menu Dessin, Modifier les points) :
2) les figures de la dernière activité ont été réalisées avec le logiciel MathGraph32 qui permet d'obtenir directement l'image d'un segment dans une transformation du plan (elles sont probablement faisables avec Cabri II et certainement plus difficilement avec Géoplan). Les fichiers pour MathGraph32 sont disponibles.
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