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Cette activité fait appel aux notions suivantes :
- Théorème de Thalès et sa réciproque
- Triangle rectangle, Pythagore direct
Il s'agit de calculer le rayon d'un cercle pour que quatre cercles contenus dans un même cercle soit tangents à ce cercle, au cercle central et entre eux deux à deux.
Elle peut se dérouler entièrement en salle informatique (construction/expérimentation, démonstration/calcul et construction/vérification) à condition d'avoir un crayon et une feuille de papier pour les calculs. Elle peut également se faire en partie en classe (construction/expérimentation avec un moyen de visualisation collectif et démonstration/calcul individuellement), seule la dernière partie se fait alors en salle informatique, au CDI ou à la maison pour ceux qui disposent d'un ordinateur.
Au début de l'activité une fiche est à distribuer aux élèves ainsi qu'éventuellement une aide à la démonstration (en fonction des besoins) :
Construction
L'activité commence par la construction avec MathGraph32 de la figure suivante : un cercle de centre A passant par le point B. On place alors le point (lié) C sur le segment [AB] puis le point F milieu de [CB], on trace ensuite le cercle de centre A et passant par C ainsi que le cercle de centre F et passant par B. On trace la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point A puis le cercle de centre I (milieu de [DG]) et de rayon IG. Enfin, on trace les deux autres cercles par symétrie.
Expérimentation
On peut déplacer le point C sur le segment [AB] et montrer ainsi que les quatre cercles tangents au cercle centrale et au grand cercle peuvent être tangents entre eux deux à deux. Mais où exactement le point C doit-il être placé ?
Démonstration
On va chercher à déterminer la position du point C en évaluant la distance AC. Soit R le rayon du grand cercle (R = AB) et r le rayon du moyen cercle (r = FC). On trace les segments [BD] et [FI]. Il faut d'abord démontrer que les droites (BD) et (FI) sont parallèles.
Lorsque les 2 cercles de centre F et I sont tangents, le point de tangence est le milieu du segment [FI] car dans le triangle isocèle AFI, la médiane est aussi la médiatrice. On a alors : FI = 2r. On calcule alors BD en fonction de R dans le triangle rectangle ABD. Il ne reste plus qu'à utiliser le théorème de Thalès dans ce même triangle pour en déduire r en fonction de R.
Vérification
On construit un cercle de centre A et passant par le point B. On mesure le segment [AB] puis on définit dans MathGraph32 le calcul r (dont l'expression en fonction de R a été trouvée ci-dessus). Par commodité on définira également le calcul : R - 2r (pour avoir directement le rayon du petit cercle mais on peut bien sûr demander aux élèves de calculer cette expression en fonction de R et définir uniquement ce calcul dans MathGraph32). Il suffit ensuite de tracer le petit cercle de centre A et de rayon donné par le calcul précédent (Mathgraph32 permet de désigner un calcul pour le rayon d'un cercle). Ici le point C est obtenu comme intersection de la droite (AB) avec le petit cercle, on finira la figure comme dans la partie construction.
Prolongement
On peut réitérer cette construction dans chacun des cercles obtenus
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